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Le concept de valeur attendue peut être utilisé pour analyser le jeu de casino de la roulette. Nous pouvons utiliser cette idée de probabilité pour déterminer combien d’argent, à long terme, nous perdrons en jouant à la roulette.
Contexte
Aux États-Unis, une roue de roulette contient 38 cases de taille identique. La roue tourne et une bille atterrit au hasard dans l’une de ces cases. Deux cases sont vertes et portent les chiffres 0 et 00. Les autres cases sont numérotées de 1 à 36. La moitié de ces cases restantes sont rouges et l’autre moitié est noire. Différents paris peuvent être faits sur l’endroit où la balle finira par atterrir. Un pari courant consiste à choisir une couleur, comme le rouge, et à parier que la balle va atterrir sur l’une des 18 cases rouges.
Probabilités pour la roulette
Comme les cases sont de même taille, la balle a autant de chances d’atterrir dans n’importe laquelle des cases. Cela signifie qu’une roue de roulette implique une distribution de probabilité uniforme. Les probabilités dont nous aurons besoin pour calculer notre valeur attendue sont les suivantes :
- Il y a un total de 38 cases, et donc la probabilité qu’une balle atterrisse sur une case particulière est de 1/38.
- Il y a 18 espaces rouges, et donc la probabilité que le rouge se produise est de 18/38.
- Il y a 20 espaces qui sont noirs ou verts, et donc la probabilité que le rouge ne se produise pas est de 20/38.
Variable aléatoire
Les gains nets d’un pari à la roulette peuvent être considérés comme une variable aléatoire discrète. Si on parie 1 $ sur le rouge et que le rouge se produit, on récupère notre dollar et un autre dollar. Si nous parions 1 $ sur le rouge et le vert ou le noir, nous perdons le dollar que nous avons parié. Cela donne un gain net de -1.
La variable aléatoire X définie comme les gains nets des paris sur le rouge à la roulette prendra la valeur 1 avec une probabilité de 18/38 et prendra la valeur -1 avec une probabilité de 20/38.
Calcul de la valeur escomptée
Nous utilisons les informations ci-dessus avec la formule de la valeur attendue. Comme nous disposons d’une variable aléatoire discrète X pour les gains nets, la valeur escomptée des paris sur le rouge à la roulette est de 1 $ :
P(Rouge) x (Valeur de X pour Rouge) + P(Non Rouge) x (Valeur de X pour Non Rouge) = 18/38 x 1 + 20/38 x (-1) = -0,053.
Interprétation des résultats
Il est utile de se rappeler la signification de la valeur attendue pour interpréter les résultats de ce calcul. La valeur escomptée est en grande partie une mesure du centre ou de la moyenne. Elle indique ce qui se passera à long terme chaque fois que nous parions 1 $ sur le rouge.
Si nous pouvons gagner plusieurs fois de suite à court terme, à long terme, nous perdrons plus de 5 cents en moyenne à chaque fois que nous jouerons. La présence des cases 0 et 00 est juste suffisante pour donner un léger avantage à la maison. Cet avantage est si petit qu’il peut être difficile à détecter, mais au final, la maison gagne toujours.
