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Le backgammon est un jeu qui utilise deux dés standard. Les dés utilisés dans ce jeu sont des cubes à six faces, et les faces d’un dé ont un, deux, trois, quatre, cinq ou six pions. Au cours d’un tour de backgammon, un joueur peut déplacer ses pions ou ses dames en fonction des chiffres indiqués sur les dés. Les chiffres obtenus peuvent être répartis entre deux pions ou être additionnés et utilisés pour un seul pion. Par exemple, lorsqu’un 4 et un 5 sont lancés, un joueur a deux options : il peut déplacer un pion de quatre cases et un autre de cinq cases, ou un pion peut être déplacé de neuf cases au total.
Pour formuler des stratégies au backgammon, il est utile de connaître quelques probabilités de base. Comme un joueur peut utiliser un ou deux dés pour déplacer un pion particulier, tout calcul de probabilités en tiendra compte. Pour nos probabilités au backgammon, nous répondrons à la question suivante : « Lorsque nous lançons deux dés, quelle est la probabilité de lancer le nombre n soit comme une somme de deux dés, soit sur au moins un des deux dés ?
Calcul des probabilités
Pour un seul dé qui n’est pas chargé, chaque camp a autant de chances d’atterrir face contre terre. Un seul dé forme un espace d’échantillonnage uniforme. Il y a un total de six résultats, correspondant à chacun des nombres entiers de 1 à 6. Ainsi, chaque nombre a une probabilité de 1/6 de se produire.
Lorsque nous lançons deux dés, chaque dé est indépendant de l’autre. Si nous suivons l’ordre de ce qui se produit sur chacun des dés, alors il y a un total de 6 x 6 = 36 résultats également probables. Ainsi, 36 est le dénominateur de toutes nos probabilités et tout résultat particulier de deux dés a une probabilité de 1/36.
Rouler au moins une fois parmi d’autres
La probabilité de lancer deux dés et d’obtenir au moins un des nombres de 1 à 6 est simple à calculer. Si nous voulons déterminer la probabilité de lancer au moins un 2 avec deux dés, nous devons savoir combien des 36 résultats possibles comprennent au moins un 2. Les moyens d’y parvenir sont les suivants :
(1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)
Il existe donc 11 façons de lancer au moins un 2 avec deux dés, et la probabilité de lancer au moins un 2 avec deux dés est de 11/36.
Il n’y a rien de spécial à propos de 2 dans la discussion précédente. Pour un nombre n donné, de 1 à 6 :
- Il y a cinq façons de lancer exactement un de ces numéros sur le premier dé.
- Il y a cinq façons de lancer exactement un de ces numéros sur le deuxième dé.
- Il y a une façon de lancer ce numéro sur les deux dés.
Il y a donc 11 façons de lancer au moins un n de 1 à 6 en utilisant deux dés. La probabilité que cela se produise est de 11/36.
Faire rouler une somme particulière
Tout nombre de deux à douze peut être obtenu par la somme de deux dés. Les probabilités pour deux dés sont légèrement plus difficiles à calculer. Comme il existe différentes façons d’atteindre ces sommes, elles ne forment pas un espace d’échantillonnage uniforme. Par exemple, il y a trois façons de lancer une somme de quatre : (1, 3), (2, 2), (3, 1), mais seulement deux façons de lancer une somme de 11 : (5, 6), (6, 5).
La probabilité de faire rouler une somme d’un nombre particulier est la suivante :
- La probabilité de faire rouler une somme de deux est de 1/36.
- La probabilité de faire rouler une somme de trois est de 2/36.
- La probabilité de faire rouler une somme de quatre est de 3/36.
- La probabilité de faire rouler une somme de cinq est de 4/36.
- La probabilité de faire rouler une somme de six est de 5/36.
- La probabilité de faire rouler une somme de sept est de 6/36.
- La probabilité de faire rouler une somme de huit est de 5/36.
- La probabilité de faire rouler une somme de neuf est de 4/36.
- La probabilité de faire rouler une somme de dix est de 3/36.
- La probabilité de faire rouler une somme de onze est de 2/36.
- La probabilité de faire rouler une somme de douze est de 1/36.
Les probabilités du backgammon
Nous avons enfin tout ce dont nous avons besoin pour calculer les probabilités du backgammon. Lancer au moins un des nombres est mutuellement exclusif de lancer ce nombre comme une somme de deux dés. Nous pouvons donc utiliser la règle de l’addition pour additionner les probabilités d’obtenir un nombre quelconque de 2 à 6.
Par exemple, la probabilité de lancer au moins un 6 sur deux dés est de 11/36. La somme des deux dés donne un 6, soit 5/36. La probabilité de lancer au moins un 6 ou de faire un 6 comme somme de deux dés est de 11/36 + 5/36 = 16/36. D’autres probabilités peuvent être calculées de manière similaire.
