Types de triangles : Aigu et obtus

ThoughtCo / Adrian Mangel

Types de triangles

Un triangle est un polygone qui a trois côtés. À partir de là, les triangles sont classés comme triangles droits ou triangles obliques. Un triangle droit a un angle de 90°, tandis qu’un triangle oblique n’a pas d’angle de 90°. Les triangles obliques sont divisés en deux types : les triangles aigus et les triangles obtus. Examinez de plus près ces deux types de triangles, leurs propriétés et les formules que vous utiliserez pour travailler avec eux en mathématiques.

Triangles obtus

Définition du triangle obtus

Un triangle obtus est un triangle qui a un angle supérieur à 90°. Comme la somme de tous les angles d’un triangle est de 180°, les deux autres angles doivent être aigus (inférieurs à 90°). Il est impossible qu’un triangle ait plus d’un angle obtus.

Propriétés des triangles obtus

  • Le côté le plus long d’un triangle obtus est celui qui est opposé au sommet de l’angle obtus.
  • Un triangle obtus peut être soit isocèle (deux côtés égaux et deux angles égaux), soit scalène (aucun côté ou angle égal).
  • Un triangle obtus n’a qu’un seul carré inscrit. L’un des côtés de ce carré coïncide avec une partie du côté le plus long du triangle.
  • L’aire d’un triangle est égale à la moitié de sa base multipliée par sa hauteur. Pour trouver la hauteur d’un triangle obtus, vous devez tracer une ligne à l’extérieur du triangle jusqu’à sa base (par opposition à un triangle aigu, où la ligne est à l’intérieur du triangle ou un angle droit où la ligne est un côté).
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Formules du triangle obtus

Pour calculer la longueur des côtés :

c2/2 < a2 + b2 < c2where angle C is obtuse and the length of the sides is a, b, and c. If C is the greatest angle and hc is the altitude from vertex C, then the following relation for altitude is true for an obtuse triangle: 1/hc2 > 1/a2 + 1/b2

Pour un triangle obtus avec les angles A, B et C :

cos2 A + cos2 B + cos2 C < 1

Triangles spéciaux obtus

  • Le triangle de Calabi est le seul triangle non équilatéral dans lequel le plus grand carré de l’intérieur peut être positionné de trois manières différentes. Il est obtus et isocèle.
  • Le plus petit triangle périphérique à côtés de longueur entière est obtus, avec les côtés 2, 3 et 4.

Définition du triangle aigu

Un triangle aigu est défini comme un triangle dans lequel tous les angles sont inférieurs à 90°. En d’autres termes, tous les angles d’un triangle aigu sont aigus.

Propriétés des triangles aigus

  • Tous les triangles équilatéraux sont des triangles aigus. Un triangle équilatéral a trois côtés de même longueur et trois angles égaux de 60°.
  • Un triangle aigu comporte trois carrés inscrits. Chaque carré coïncide avec une partie d’un côté du triangle. Les deux autres sommets d’un carré se trouvent sur les deux côtés restants du triangle aigu.
  • Tout triangle dans lequel la ligne d’Euler est parallèle à un côté est un triangle aigu.
  • Les triangles aigus peuvent être isocèles, équilatéraux ou scalènes.
  • Le côté le plus long d’un triangle aigu est opposé au plus grand angle.

Formules d’angle aigu

Dans un triangle aigu, ce qui suit est vrai pour la longueur des côtés :

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a2 + b2 > c2, b2 + c2 > a2, c2 + a2 > b2

Si C est le plus grand angle et hc l’altitude du sommet C, alors la relation suivante pour l’altitude est vraie pour un triangle aigu :

1/hc2 < 1/a2 + 1/b2 Pour un tirangle aigu avec les angles A, B et C : cos2 A + cos2 B + cos2 C < 1

Triangles aigus spéciaux

  • Le triangle de Morley est un triangle équilatéral spécial (et donc aigu) qui est formé à partir de tout triangle dont les sommets sont les intersections des trisectrices d’angle adjacentes.
  • Le triangle d’or est un triangle isocèle aigu où le rapport entre le côté et la base est le double du rapport d’or. C’est le seul triangle qui a des angles dans la proportion 1:1:2 et qui a des angles de 36°, 72° et 72°.
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