Comment et quand utiliser la distribution uniforme

Il existe un certain nombre de distributions de probabilité différentes. Chacune de ces distributions a une application et une utilisation spécifiques qui conviennent à un contexte particulier. Ces distributions vont de la courbe en cloche, toujours familière (alias distribution normale), à des distributions moins connues, comme la distribution gamma. La plupart des distributions impliquent une courbe de densité compliquée, mais certaines ne le font pas. L’une des courbes de densité les plus simples est celle d’une distribution de probabilité uniforme.

Caractéristiques de la distribution uniforme

La distribution uniforme tire son nom du fait que les probabilités pour tous les résultats sont les mêmes. Contrairement à une distribution normale avec une bosse au milieu ou une distribution chi carré, une distribution uniforme n’a pas de mode. Au contraire, tous les résultats ont une probabilité égale de se produire. Contrairement à une distribution chi carré, il n’y a pas d’asymétrie dans une distribution uniforme. Par conséquent, la moyenne et la médiane coïncident.

Comme chaque résultat dans une distribution uniforme se produit avec la même fréquence relative, la forme résultante de la distribution est celle d’un rectangle.

Distribution uniforme pour les variables aléatoires discrètes

Toute situation dans laquelle tous les résultats d’un espace d’échantillonnage ont une probabilité égale utilisera une distribution uniforme. Un exemple de cette situation dans un cas discret est le lancement d’un seul dé standard. Il y a un total de six côtés du dé, et chaque côté a la même probabilité d’être roulé face vers le haut. L’histogramme de probabilité pour cette distribution est de forme rectangulaire, avec six barres qui ont chacune une hauteur de 1/6.

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Distribution uniforme pour les variables aléatoires continues

Pour un exemple de distribution uniforme dans un cadre continu, considérons un générateur de nombres aléatoires idéalisé. Celui-ci générera réellement un nombre aléatoire à partir d’une plage de valeurs spécifiée. Ainsi, s’il est spécifié que le générateur doit produire un nombre aléatoire compris entre 1 et 4, alors 3,25, 3, e, 2,222222, 3,4545456 et pi sont tous des nombres possibles qui ont une probabilité égale d’être produits.

Comme la surface totale délimitée par une courbe de densité doit être de 1, ce qui correspond à 100 %, il est facile de déterminer la courbe de densité pour notre générateur de nombres aléatoires. Si le nombre est compris entre a et b, cela correspond à un intervalle de longueur b – a. Pour avoir une surface de 1, la hauteur devrait être de 1/(b – a).

Par exemple, pour un nombre aléatoire généré de 1 à 4, la hauteur de la courbe de densité serait de 1/3.

Probabilités avec une courbe de densité uniforme

Il est important de se rappeler que la hauteur d’une courbe n’indique pas directement la probabilité d’un résultat. Au contraire, comme pour toute courbe de densité, les probabilités sont déterminées par les zones situées sous la courbe.

Comme une distribution uniforme a la forme d’un rectangle, les probabilités sont très faciles à déterminer. Plutôt que d’utiliser le calcul pour trouver l’aire sous une courbe, il suffit d’utiliser une géométrie de base. Rappelez-vous que l’aire d’un rectangle est sa base multipliée par sa hauteur.

Revenez au même exemple que précédemment. Dans cet exemple, X est un nombre aléatoire généré entre les valeurs 1 et 4. La probabilité que X soit compris entre 1 et 3 est de 2/3 car cela constitue l’aire sous la courbe entre 1 et 3.

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